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Amateurs de sport ! Mario Tremblay n'avait peut-être pas
informé ses joueurs de l'existence de Cabri lors des
dernières séries éliminatoires de la coupe
Stanley ! Depuis que Cabri est installé dans la calculatrice
graphique TI-92 de Texas Instruments, la ligue nationale de hockey
pourrait rendre disponible cet outil au banc des joueurs.
Revenons à l'aspect sérieux de la discussion !
L'idée m'est venue à la lecture d'un problème
soumis par Gérard Vivier dans la revue française
Cabriole (no. 8, 1996). Le problème s'intitule «Cabri au
service du rugby». En voici une adaptation
québécoise.
Construisons notre modèle mathématique afin de
simuler, analyser et résoudre ce problème.
· Traçons une première droite (ligne des buts) sur
laquelle seront situés deux points P1 et P2
représentant les deux poteaux du gardien.
· Traçons une droite d (direction du joueur le
long de la bande) perpendiculaire à la droite P1P2.
· Créons un point J (position du joueur) sur la
droite d.
Lorsque le joueur J est proche de la ligne des buts
(P1P2), l'angle est fermé; il s'ouvre si le joueur
prend du recul. Cependant, quand le joueur J est trop loin de
la ligne des buts, l'angle diminue à nouveau. D'où
l'idée qu'il y a sans doute une position optimale, pour
J, autour de laquelle l'angle croît puis
décroît.
· Traçons un cercle C passant par les points
J, P1 et P2.
Le centre de ce cercle est construit à l'intersection des
médiatrices des segments P1P2 et JP1.
· Construisons le point J', l'autre intersection du
cercle C et de la droite d.
Remarque:
Que le joueur soit situé au point J ou J', le
segment P1P2 sera vu sous le même angle (c'est la
propriété de l'angle inscrit dans un cercle).
· Construisons un nouveau point X sur la droite d
et considérons l'angle P1XP2.
Remarques:
Nous savons que l'angle X est plus grand si le point X
est à l'intérieur du cercle C que s'il est
à l'extérieur.
Cette propriété reste vraie quand le point J se
rapproche du point J' et se confond avec lui.
Quand J et J' sont confondus, le cercle C est
tangent à la droite d en ce point.
Et c'est précisément à ce point de tangence que
le joueur J doit être situé pour que l'angle soit
maximum, car le rayon du cercle C est alors à son
minimum et l'arc P1P2 est à son maximum .
· Déplaçons manuellement le point J afin
qu'il se confonde avec le point J'.
· Observons le «problème résolu» avant
de trouver la construction du point de tangence recherché.
Remarques:
Le centre O du cercle tangent est sur la médiatrice du
segment P1P2
De plus, quand le cercle C est tangent à la droite
d, le segment OJ est congru au segment dont les
extrémités sont formées par le milieu du segment
P1P2 et par le point situé à l'intersection des
droites d et P1P2.
Puisque les segments OP1 et OJ sont congrus (les rayons
du cercle O), il faut trouver le cercle dont le centre est sur
la médiatrice de P1P2 et dont le rayon OP1 est
égal à IM.
· Construisons le point M milieu du segment
P1P2.
· Construisons le point I à l'intersection des
droites P1P2 et d.
· Construisons le cercle C2 de centre P1 dont le
rayon est congru au segment MI.
(Menu «Compas» dans Cabri II ou macro dans Cabri I)
Remarques:
Le centre O du cercle tangent est situé à
l'intersection du cercle C2 et de la médiatrice du
segment P1P2
(OP1 = IM).
La position du joueur J est le point d'intersection du cercle
C et de la droite d, puisque le rayon du cercle
C est aussi égal à la mesure du segment
OP1 et OJ = OP1 = IM.
Et voilà ! Il ne reste plus qu'à dissimuler
discrètement une TI-92 sur le banc des joueurs ... salut Mario
!
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